Hilbert-féle axiómarendszer

A Hilbert-féle axiómarendszer egy 20 (eredetileg 21) axiómából álló axiómarendszer, amit David Hilbert német matematikus javasolt 1899-ben az euklideszi geometria axiomatizálására. A Hilbert-féle axiómarendszeren kívül később további axiómarendszereket is kidolgoztak az euklideszi geometria axiomatizálására, például Tarski és Birkhoff.

Az axiómák

A Hilbert-féle axiómarendszer alapfogalmai a következők:

Ezek között a fogalmak között a következő relációkat definiáljuk:

az illeszkedés bináris reláció, ami egy pont és egy egyenes között, egy pont és egy sík között, illetve egy egyenes és egy sík között állhat fenn,
a két pont között lenni egy háromváltozós reláció, ami három pont között állhat fenn,
az egybevágóság pedig egy bináris reláció, ami két szakasz között vagy két szög között állhat fenn.

Vegyük észre, hogy a szakaszokat, szögeket, háromszögeket pontok és egyenesek, illetve az illeszkedés és két pont között lenni relációk használatával definiálhatjuk.

Az axiómarendszer axiómáit 5 csoportba szokás sorolni. Ezek a következők:

az illeszkedés axiómái,
a rendezés axiómái,
az egybevágóság axiómái,
a folytonosság axiómái,
a párhuzamosság axiómája.

Az illeszkedés axiómái

A és B ponthoz mindig tartozik egy a egyenes, amely mindkét pontra illeszkedik.
A és B ponthoz nem tartozik több, mint egy olyan egyenes, amely az A, B (mindkét) pontra illeszkedik.
Minden egyeneshez legalább két pont illeszkedik. Létezik olyan három pont, amelyek nem illeszkednek egy egyeneshez.
Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz (A, B, C–hez) tartozik legalább egy φ sík, amely mindhárom (A, B, C) pontra illeszkedik.
Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz (A, B, C–hez) legfeljebb egy olyan sík tartozik, amely a három pont mindegyikéhez illeszkedik.
Ha egy a egyenesnek két pontja (A és B) rajta van egy φ síkon, akkor a összes pontja rajta van a síkon.
Ha α és β síknak van egy közös P pontja, akkor legalább van még egy közös Q pontja.(P ≠ Q)
Van legalább négy, nem egy síkhoz illeszkedő pont.
Minden síkhoz legalább 3 pont illeszkedik.

A rendezés axiómái

Ha egy B pont A és C között van, akkor B a C és A között is van, és A, B, C egy egyenes három különböző pontja.^[1]^[2]
Két ponthoz, A – hoz és C – hez az AC egyenesnek legalább egy olyan B pontja létezik, hogy a B az A és C pont között van (és az AC egyenesnek legalább egy olyan D pontja létezik, hogy C a B és D pontok között van.)^[3]
Egy egyenesnek bármely három pontja közül pontosan (legfeljebb elég?) az egyik van a másik kettő között.^[4][Pontosan: az egyenes bármely három eltérő A B C pontjára mindig értelmezett a "két pont között lenni" reláció. Legfeljebb: az egyenes bármely három eltérő A B C pontjára előfordulhat, hogy nincs rájuk értelmezve a "két pont között lenni" reláció. A szakasz címe az utóbbi esetben A részbenrendezés axiómái lenne. A rendezés ismereteim szerint a teljes rendezést jelenti. A részbenrendezés nem rövidíthető így.]
Ha az A, B, C pontok nem egy egyenesen vannak, és a egy az ABC síkon lévő, de az A, B, C pontok egyikéhez sem illeszkedő egyenes, amely illeszkedik valamely A és B közötti ponthoz, akkor feltétlenül illeszkedik vagy egy B és C, vagy pedig egy C és A közötti ponthoz is.^[5] (Pasch-axióma)

Az egybevágóság axiómái

A szakaszok és szögek egybevágósága ekvivalencia-reláció. Azaz tegyük fel, hogy AB, A1B1, A2B2 szakaszok (szögekre hasonlóan). Ekkor:
- AB ≡ AB (az egybevágóság reflexív)
- Ha A1B1 ≡ AB, akkor AB ≡ A1B1 (az egybevágóság szimmetrikus)
- Ha A1B1 ≡ AB, és A2B2 ≡ AB, akkor A1B1 ≡ A2B2 (az egybevágóság tranzitív)
Ha adott egy AB szakasz, és egy A1 kezdőpontú a1 félegyenes, akkor a1–en van egy B1 pont úgy, hogy AB ≡ A1B1. (egybevágó AB–vel.)
Ha az a egyenes közös (belső) pont nélküli AB és BC szakasza, továbbá A1B1 és B1C1ugyanannak, vagy egy másik a1 egyenesnek olyan közös (belső) pont nélküli szakasza, hogy AB ≡ A1B1 és BC ≡ B1C1, akkor AC ≡ A1C1.
Legyen adva a (h,k)∠ (konvex), és egy félsík; a félsík határán 'O' pont, és a félsíkot határoló egyenesnek O ponttal határolt egyik félegyenese 'h1'. Egy és csakis egy olyan O ponttal határolt k1 félegyenes van az adott félsíkon, hogy (h,k)∠ ≡ (h1,k1)∠
Ha két háromszögre, ABC – re és A1B1C1 – re nézve érvényesek a következők: AB ≡ A1B1, AC ≡ A1C1, BAC∠ ≡ B1A1C1∠, akkor: ABC∠ ≡ A1B1C1∠.

A folytonosság axiómái

Ha AB és CD két tetszőleges szakasz, akkor az AB egyenesen van 'n' számú különböző pont, A1, A2,…, An, úgy, hogy AA1, A1A2, A2A3,…,A(n-1)An szakaszok mindegyike egybevágó a CD szakasszal, és B az A és An pont között van.
A síkot újabb pontok vagy újabb egyenesek hozzácsatolásával nem lehet olyan síkká bővíteni, melyre nézve az összes előbbi axióma érvényes.

A párhuzamosság axiómája

Az euklideszi (vagy sík) geometriában:
Egy tetszőleges a egyenes és egy rá nem illeszkedő A pont meghatározta síkon az A ponthoz illeszkedő egyenesek legfeljebb egyike nem metszi az a egyenest.
A Bolyai-Lobacsevszkij-féle (vagy hiperbolikus) geometriában:
Egy tetszőleges a egyeneshez egy rá nem illeszkedő A ponton keresztül legalább 2 olyan (különböző) egyenes, melyek nem metszik az adott egyenest.

Jegyzetek

A folytonossági axiómákat egyetlen – a Dedekind-féle – axiómával kicserélhetjük:

Ha egy egyenes pontjait úgy soroljuk be két osztályba, hogy egyik osztály se legyen üres, továbbá egyik osztálynak se legyen a másik osztályba tartozó két pont közötti pontja, akkor van olyan pont, mely bármely két tőle különböző és más – más osztályba tartozó pont között helyezkedik el.

↑ "If a point B lies between points A and C, B is also between C and A, and there exists a line containing the distinct points A,B,C."
↑ „Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind, und B zwischen A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A.”
↑ „Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt es stets wenigstens einen Punkt B, der zwischen A und C liegt, und wenigstens einen Punkt D, so daß C zwischen A und D liegt.”
↑ „Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen, der zwischen den beiden andern liegt.”
↑ „Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen der Punkte A, B, C trifft: wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC oder durch einen Punkt der Strecke AC.”

Források

Howard Eves, 1997 (1958). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover. A 4.2 fejezet foglalkozik a síkgeometria Hilbert-féle axiómarendszerével.
Ivor Grattan-Guinness, 2000. In Search of Mathematical Roots. Princeton University Press.
David Hilbert:Grundlagen der Geometrie, B. G. Taubner, Leipzig, 1903
David Hilbert: The Foundations of Geometry, 2nd ed. Chicago: Open Court., 1980 (1899)

További információk

Math Department at the UMBC Archiválva 2013. december 13-i dátummal a Wayback Machine-ben
Mathworld

[1] "If a point B lies between points A and C, B is also between C and A, and there exists a line containing the distinct points A,B,C."

[2] „Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind, und B zwischen A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A.”

[3] „Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt es stets wenigstens einen Punkt B, der zwischen A und C liegt, und wenigstens einen Punkt D, so daß C zwischen A und D liegt.”

[4] „Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen, der zwischen den beiden andern liegt.”

[5] „Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen der Punkte A, B, C trifft: wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC oder durch einen Punkt der Strecke AC.”

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]